Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów Dane są ciągi \( \left( a_{n} \right) \) i \( \left( b_{n} \right) \) określone dla \( n\geq 1 \) Jeśli \( \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} =a \) oraz \( \lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} =b \), to: \[ \lim_{n\rightarrow\infty }\left( a_{n}+b_{n} \right) =a+b \]\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n}-b_{n} \right) =a-b \]\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n}*b_{n} \right) =a*b \] Jeżeli ponadto \( b_{n}\neq 0 \) dla \( n\geq 1 \) oraz \( b\neq 0 \), to: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} \] Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( \left(a_{n} \right) \), określony dla \( n\geq 1 \), o ilorazie \( q \). Niech \( S_{n} \) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \), to znaczy ciąg określony wzorem \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) dla \( n\geq 1 \). Jeżeli \( \left|q \right|<1 \), to ciąg \( \left(S_{n} \right) \) ma granicę. \[ S=\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q} \] Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \).Klasówki i testy - Rachunek różniczkowy zadania. 12.1 Test (R)Granice funkcji, granice jednostronne, ciągłość funkcji i własności funkcji ciągłych. Popularne. 12.1 Klasówka (R)Granice funkcji, granice jednostronne, ciągłość funkcji i własności funkcji ciągłych. 12.2 Test (R)Pochodne funkcji wymiernych.
Wzór na dla \( n-ty \) wyraz ciągu geometrycznego dla \( \left(a_{n} \right) \) o pierwszym wyrazie \( a_{1} \) i ilorazie \( q \): \[ a_{n}=a_{1}*q^{n-1} \] dla \( n\geq 2 \) Wzór na sumę \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) początkowych \( n \) wyrazów ciągu geometrycznego: \[ S_{n}=a_{1}*\frac{1-q^{n}}{1-q} \] dla \( q\neq 0 \) \[ S_{n}=n*a_{1} \] dla \(q=0 \) Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: \[ a_{n}^{2}=a_{n-1}*a_{n+1} \] Procent składany Jeżeli kapitał początkowy \(K \) złożymy na \( n \) lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi \( p% \) w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy \( K_{n} \) wyraża się wzorem: \[ K_{n}=K*\left(1+\frac{p}{100} \right)^{n} \]
Dwusieczna kąta półprosta mająca początek w wierzchołku kąta i przecinająca ten kąt na dwa równe kąty. Zamknij. Kąt wypukły to kąt, którego wnętrze jest figurą wypukłą. Zamknij. Odcinek o końcach nazywamy zbiór wszystkich punktów prostej leżących między punktami wraz z tymi punktami. Marysia17 Użytkownik Posty: 3 Rejestracja: 2 paź 2006, o 22:04 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Gdynia wzór na sumę ciągu Sprawa jest trochę zawiła, jak dla średnio mądrej licealistki. A mianowicie problem tkwi: 1. W znalezieniu wzoru sumy ciągu u(n)=n(n+1) i wykorzystaniu tego wzoru do znalezienia sumy ciągu u(n)=n^2. 2. analogicznie do ad. 1- suma ciągu u(n)=n(n+1)(n+2) i znalezienie sumy ciągu u(n)=n^3 3. analogicznie do suma ciągu u(n)=n(n+1)(n+2)(n+3) i znalezieniu sumy ciągu u(n)=n^4 4. Wykorzystaniu powyzszego do ustalenia wzoru na sume ciągu u(n)=n^k Dziękuję za wszelką pomoc. Marysia17 Użytkownik Posty: 3 Rejestracja: 2 paź 2006, o 22:04 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Gdynia wzór na sumę ciągu Post autor: Marysia17 » 3 paź 2006, o 16:26 Zależy mi najbardziej na podpunkcie 4. Ostatnio zmieniony 5 paź 2006, o 01:37 przez Marysia17, łącznie zmieniany 1 raz. mol_ksiazkowy Użytkownik Posty: 8514 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Kraków Podziękował: 2754 razy Pomógł: 703 razy wzór na sumę ciągu Post autor: mol_ksiazkowy » 3 paź 2006, o 16:46 \(\displaystyle{ \Bigsum_{k=1}^n k(k+1)(k+2)...(k+r)=\frac{1}{r+2}n(n+1)(n+2)....(n+r)(n+r+1)}\) Marysia17 Użytkownik Posty: 3 Rejestracja: 2 paź 2006, o 22:04 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Gdynia wzór na sumę ciągu Post autor: Marysia17 » 3 paź 2006, o 17:12 A wzór na sumę ciągu u(n)=1^k+2^k+3^k...n^k z jakimś wyjaśnieniem jest możliwy do stworzenia? mol_ksiazkowy Użytkownik Posty: 8514 Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Kraków Podziękował: 2754 razy Pomógł: 703 razy wzór na sumę ciągu Post autor: mol_ksiazkowy » 3 paź 2006, o 19:15 Marysia17 napisała: A wzór na sumę ciągu u(n)=1^k+2^k+3^k...n^k z jakimś wyjaśnieniem jest możliwy do stworzenia?Ależ tak!! ogólnie co widać łatwo u(n) jest wielomianem zmiennej n stopnia k+1....ale istnieje także możliwość takiego zapisu: \(\displaystyle{ u(n)=1^k+2^k+3^k+....+n^k= \bigsum_{i=1}^{k} a_{i,k} {n+i\choose k+1}}\) gdzie wspolczynniki sa mozliwe do odczytania z tablicy: \(\displaystyle{ a_{i,k}}\), to i-ty element k tego wiersza .........................1....................... ...................1..........1................. ............1...........4..........1........... .......1.........11.........11.........1..... ..1........26.........66........26.........1 ................................................. wg reguły: Każdy element wewnatrz tabilcy jest sumą jego dwóch górnych sąsiadów pomnożonych odpowiedznio przez numer lewego (prawego ) skosu, w którym się on znajduje, np. 26= 4*1+ 2*11, bo 2 jest w czwartym skosie prawym, a 11 jest w drugim skosie lewym itd. i tak np.: \(\displaystyle{ u(n)=1^4+2^4+3^4+...+n^4= {n+1\choose 5}+11 {n+2\choose 5}+11{n+3\choose 5}+{n+4\choose 5}}\)Zadanie 10. (1 pkt) Otrzymasz dostęp do wszystkich klasówek i testów, oraz płatnych artykułów przez dwie godziny (120min)! Sprawdź się w teście z trygonometrii na poziomie rozszerzonym! Miara łukowa kąta, wartości funkcji trygonometrycznych, równania, zależności między funkcjami. Rozwiąż test i od razu poznaj swój wynik.Jeżeli limn→∞ an =a i limn→∞ bn =b to: limn→∞ ( an + bn ) = a+b , limn→∞ ( an - bn ) = a-b , limn→∞ ( an bn ) = ab , ∃ k∈N+ ∀ n>k ( bn≠0 ∧ b≠0 ) ⇒ limn→∞ an bn = ab , ∃ k∈N+ ∀ n>k ( an ≥ bn ⇒ a≥b ) . O ile w mianowniku można by zastosować wzory skróconego mnożenia, poznane jeszcze w szkole w średniej, to w liczniku nie koniecznie znamy/ pamiętamy od razu gotowy wzór. Wykorzystuje więc wzór ogólny na n-tą potęgę sumy dwóch liczb (do doboru współczynników pomocny jest również tzw. m9NP.
wzory na granice ciągów
